2014江苏公务员行测指导：数学同素分堆问题

数学同素分堆问题

　　同素分堆问题是求方法数问题的一种基本题型。它的最基本的模型是：

　　“把n个相同的元素分成m堆，每堆至少1个，问有多少中不同的分法？”

　　这里的“同素”即“相同的元素”，在这个模型中，最关键的是“每堆至少1个”这句话，必须是每堆至少一个，才可用我们接下来要讲的解决这类问题的方法：隔板法。

　　【例1】把10本相同的书分给3个班级，每班至少1个，问有多少种不同的分法？

　　【思路】本题中“同素”：是10本相同的书，故n=10；

　　分给3个班级：即将书分成3堆，故m=3；

　　每班至少1本。

　　故本题为同素分堆问题的最基本的模型。

　　解决方法：隔板法。把10本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。

　　要把这10本书分成三堆，只要在这10本书形成的空隙中插入2个隔板即可。10本书排成一排，形成了11个空。但是，因为要求每班至少分一本书，所以最前面的空和最后一个空是不能插板的，则只能在中间形成的9个空中插入2个隔板，即从9个空中选择2个空插入隔板。然而，到底选择的2个空插入隔板是用排列还是组合呢？

　　【解析】由于两个隔板的放置的位置不同就已经体现了三个班级分得书本数的可能性，故只要在9个空中选2个位置放隔板即可，不需要选完之后再排列，用组合即可，即隔板的放置方法共有   种，也即把10本相同的书分给3个班级，每班至少1个，共有   种方法。

　　【总结】把n个相同的元素分成m堆，每堆至少1个，有   不同的分法。

　　然而，行测数学运算部分关于此知识点的考查往往是基本模型的变形的形式。和基本模型的主要区别在于，题干中所给的条件不在是“每堆至少1个”，而是“每堆至少多于1个”，当问题这样变形后，就不能直接用隔板法解决了。

　　【例2】把10本相同的书分给3个班级，每班至少2本，问有多少种不同的分法？

　　【解析】这个问题中，在分书时，要求的是“每班至少2本”。我们说，在应用隔板法解决同素分堆问题时，要求必须是“每堆至少1个”。为此，解决不是“每堆至少1个”的同素分堆问题时，我们用转化的思想。即想办法把“每班至少多于1个”转化成“每堆至少1个”，再应用隔板法解题。

　　本题中就可以通过先每班分一本书，然后还剩7本书，所以本题就转化为：

　　“把7本相同的书分给3个班级，每班至少一本，问有多少中不同的分法？”

　　应用隔板法：n=7，m=3，故有 种不同的分法。

　　【总结】在应用隔板法解决同素分堆问题时，一定要区分题干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1个”，可直接应用隔板法解题；如果“每堆至少分的多于1个”，则应该将其转化为“每堆至少分1个”的情况，再应用隔板法。

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