2015江苏公务员数学运算指导：容斥问题

时间: 2014-09-01 11:56:42 来源：启禾教育http://www.qihejy.com

　　对于容斥问题，解题的关键是首先找到题目中存在的各个集合，然后理清各集合之间的关系，再通过两大核心方法解决，两大核心方法为：
　　1、将所有区域都变为一层
　　2、结合文氏图解题
　　容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，接下来专家进行一一讲解。
　　一、容斥极值问题

　　二、三者容斥问题
　　三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同，首先来看第一种：
　　例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89 人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?
　　A、69 B、65 C、57 D、46
　　解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系

　　第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。
　　A表示看甲片的人
　　B表示看乙片的人
　　C表示看丙片的人
　　X表示看过甲乙丙三种片子的人
　　Y表示三部电影都没看过的人
　　I表示总共接受调查的人数
　　O、P、Q表示看过两部片子的人
　　第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。
　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾数是6
　　结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：
　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y
　　(I表示全集，A、B、C代表三个集合，O、P、Q表示两个只有两层的区域，X表示三层的区域，Y代表圆之外的部分

　　三、两者容斥问题
　　例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?
　　A.6 B.7 C.8 D.9
　　解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：

　　第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。
　　A表示是奥运会自愿者
　　B表示是全运会志愿者
　　I表示是全班人数
　　X表示全运会且奥运会志愿者
　　Y表示非奥运会且非全运会志愿者
　　第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。
　　I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾数法)。
　　结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将两个集合相加的时候，2层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三两容斥问题的公式为：
　　全集I=A+B-X+Y
　　(I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部分)

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